弹簧大家一定不陌生 和金属丝或者其他材质的绳子比,弹簧有什么特征呢? 和金属丝相比,弹簧在弯曲方面有更好的韧性和弹性形变极限 并且弹簧不像绳子那样松散,能够将力很好地传递到其每一个位置 所以弹簧在很多教学实验就是老师的好帮手啦! 今天我们来玩点更有意思的 实验器材 所标杯、弹簧、手套、所徽 实验过程 首先,我们来做一个复习: 将所徽挂在弹簧一端 (相比于弹簧,所徽质量可以忽略不计) 让其在平面内摆动 这时可以将弹簧近似地看作一个复摆 复摆运动的周期和等效长度呈正相关 随着弹簧长度增加,随着转动惯量的增加, 往复周期就增加了 如果我们将两个垂直平面内的往复运动叠加起来 就可以合成一个圆周运动 这个圆周运动有一个角速度下限 这个下限和形成圆周运动之前的摆动频率有关 但是在此之上我们可以试着让它转的更快 相对的弹簧也会“飘“得更高 复习完毕,那我们开始玩起来: 捏住弹簧的一端 使其旋转 不仅可以得到上图中简单的圆周运动 还可以得到和驻波类似的运动 达成这个驻波的最小角速度条件 和弹簧在特定长度摆动的固有频率有关 大家可以猜一猜这个长度占弹簧总长度的比值是多少? (让我看看机智的小伙伴在哪里) 同样的,在形成“驻波“之后 如果我们加速旋转 弹簧整体也会抬升 转动的手感还是很不错的 和平面内的驻波比,旋转起来的“驻波”更加稳定 大家也可以尝试一下只在一个方向上振动 结果会发现很难将摆动控制在一个平面内 弹簧会自然地开始转动起来 那么,能不能让弹簧出现更多的波节呢? 我们可以先尝试找到使其稳定振动的频率 首先找到弹簧的1/5处(想想为什么?) 轻轻摇动一下 静下心来感受它的振动 然后以相同的频率抖动弹簧 就可以成功的激发出更多的波节 看,这样旋转的弹簧像不像随音乐起舞的蛇? 原理解说 (1)关于复摆 在小角度下复摆的周期公式为: 其中I为弹簧绕着支点(手)的转动惯量 小角度下不考虑弹簧的形变的话 所以在小角度时振动周期的平方正比于弹簧长度 随着摆动角度和弹簧长度的增大,周期公式以及转动惯量都会发生变化,但是整体上还是呈正相关的。 (2)关于复摆运动与圆周运动 在小角度时复摆近似地做简谐运动,而在正交的两个方向上,相位差为π/2的两个简谐运动可以合成为一个圆周运动。大家可以参考这样一对参数方程: 当然了,随着圆周运动的角速度提高,整个系统就不能够用由复摆近似的简谐运动合成。此时圆周运动是以弹簧的离心力、重力和弹簧内部的拉力共同作用下平衡的。当然,由于弹簧在甩动时呈一条曲线,若想得到完整的表达式需要做一些微积分的计算。当然我们可以定性地去分析,随着圆周运动的角速度提高,弹簧受到的离心力必然是增大的,其与重力的合力与垂直轴的夹角也会变大,弹簧整体也就“浮起来“了。 (3)关于驻波 我们之前提到了两个简谐运动可以合成一个圆周运动,那么反过来也是一样,我们可以将旋转的弹簧投影到平面上,让它分解成两个平面波。弹簧在手这一端是固定住的,在另一端是不固定的,所以形成驻波就是中学时我们学到的管内一端开一端闭的模式。那么形成的前两阶驻波示意图就如下: 这也是我们找到驻波最靠近弹簧末端的位置分别为1/3以及1/5的原因啦~ 编辑:荔枝 |